試験問題

【数的処理】公務員試験に向けて問題をやってみよう【001】

【数的処理】約数の個数【No.1】


1200の約数の個数を求めなさい。

 

【解答】

スマホ表示で見切れないように一部フォントを小さくしています。
少し見えにくい箇所があるかもしれませんがご了承下さい。

まずは1200を素因数分解していきます。

すると、

$$1200 = 2^4 ・ 3^1 ・ 5^2$$

になります。

1乗もしっかり書いておくようにしましょう!

 

約数の個数を求める時は累乗の数にそれぞれ1を足したものをかければいいので、

式にすると以下になります。

 

約数の個数を求める公式

$$M = A^x ・ B^y ・ C^z$$

約数の個数

$$=(x+1)・(y+1)・(z+1)$$

この場合

約数の個数

$$=  (4 + 1) × (1 + 1) × (2 + 1)$$

$$ = 5 × 2 × 3$$

答え・・・30 (個)

 

公務員試験の勉強において、「まずは数的処理を優先して勉強すべき」なのですが、それについて以下の記事で解説していますので、合わせて読んでみてください。

 

【練習問題1】

360の約数の個数を求めなさい。

 

【解答】

$$360 = 2^3 ・ 3^2 ・ 5^1$$

約数の個数
$$=(3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1)$$

$$ = 4 × 3 × 2$$

答え・・・24 (個)

 

【練習問題2】

5400の約数の個数を求めなさい。

 

【解答】

$$5400 = 2^3 ・ 3^3 ・ 5^2$$

約数の個数
$$=(3 + 1) × (3 + 1) × (2 + 1)$$

$$ = 4 × 4 × 3$$

答え・・・48 (個)

 

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【数的処理】約数の和【No.2】

540の全ての約数の和を求めなさい。

 

【解答】

まずは540を素因数分解していきます。

すると、

$$540 = 2^2 ・ 3^3 ・ 5^1$$

となります。

約数の総和の求める公式は以下の通りです。

約数の総和を求める公式

$$\largeM = A^x ・ B^y$$

約数の総和
$$\scriptsize=(A^0+A^1+…A^x)・(B^0+B^1+…B^y)$$

この公式に先ほど素因数分解した値を当てはめると、

540の約数の総和
$$\small=(2^0+2^1+2^2)・(3^0+3^1+3^2+3^3)・(5^0+5^1)$$

$$=(1+2+4)・(1+3+9+27)・(1+5)$$

答え・・・1680 (個)

どんな数字でも0乗は1というのを覚えておきましょう。

赤ずきんくん
赤ずきんくん
この問題は解き方を知らないと難しいので暗記しておきましょう。

 

【練習問題1】

20の全ての約数の和を求めなさい。

 

【解答】

まずは20を素因数分解します。

$$20 = 2^2 ・ 5^1$$

20の約数の総和
$$=(2^0+2^1+2^2)・(5^0+5^1)$$

$$ = (1+2+4) ・ (1+5)$$

答え・・・42(個)

 

【練習問題2】

1800の全ての約数の和を求めなさい。

 

【解答】

まずは1800を素因数分解します。

$$1800 = 2^3 ・ 3^2 ・ 5^2$$

1800の約数の総和
$$\scriptsize=(2^0+2^1+2^2+2^3)・(3^0+3^1+3^2)・(5^0+5^1+5^2)$$

$$=(1+2+4+8)・(1+3+9)・(1+5+25)$$

$$ = 15 ・ 13 ・ 31$$

答え・・・6045(個)

 

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【数的処理】条件から最小の数を求める【N0.3】

8で割ると4余り、7で割ると3余る自然数の中で1番小さい数は?

 

【解答】

余りに4を足すと7でも8でも割り切れる(4+4=8、3+4=7)ので、

元の数に4を足すと7でも8でも割り切れる。

元の数をMとおくと、

$$\scriptsize M=8a+4 → M+4 = 8a+8 = 8(a+1)$$

$$\scriptsize M=7b+1 → M+4 = 7b+1 = 7(b+1)$$

よって、M+1は7でも8でも割り切れる。

次に、7でも8でも割り切れる数(7と8の最小公倍数)を求めます。

7と8の最小公倍数は56なので

7で割っても8で割っても割り切れる数(公倍数)は56, 112, 168, …

M+4が56, 112, 168, …なので、M=52, 108, 164, …

これらの中で,最小のものは52なので、

答え・・・52

 

公務員試験は暗記科目のオンパレードなので、効率的に暗記できるかが合格のカギとなります。

ちなみに、暗記したことを忘れないコツについては以下の記事で解説しています。

【数的処理】条件から整数の個数を求める【No.4】

7で割ると4余り、11で割ると9余る3ケタの整数は何個あるか答えなさい。

 

【解答】

$$7a + 4 = 11b + 9$$
$$11 b= 7a - 5$$
\(この場合、両辺に24を足してやると、\)
$$11b + 33 = 7a + 28$$
$$11(b+3) = 7(a+4)$$
$$b + 3 = 7x$$
$$b = 7x - 3・・・・・(1)$$
\( 11b + 9 に(1)を代入してやると、\)
$$11(7 x -3) + 9$$
$$=77x - 24$$
$$100 < 77x - 24 < 999$$
$$124 < 77x < 1023$$
$$ x= 2,3,・・・13$$
\(なので、\)
答え・・・13(個)

 

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