【数的処理】公務員試験に向けて問題をやってみよう【004】

【数的処理】定価や原価の問題【No.11】

ある書店ではA、B、Cの3種類の書籍の売価はそれぞれ1冊1000円、800円、1200円で、1冊あたりの利益はそれぞれ200円、120円、300円でした。ある日A、B、C合わせて33冊売れ、売価の合計は32000円で利益の合計は6400円でした。Cは何冊売れたでしょうか。

 

【解答】
$$a＋b＋c=33・・・(1)$$

$$\small1000a＋800b＋1200c=32000$$
$$→5a＋4b＋6c=160・・・(2)$$

$$\small200a＋120b＋300c=6400$$
$$→10a＋6b＋15c=320・・・(3)$$

$$(1)×-5と(2)より$$
$$5a＋4b＋6c=160$$
$$-5a-5b-5c=-165$$
$$⇒-b＋c=-5・・・(4)$$

$$(1)×-10と(3)より$$
$$10a＋6b＋15c=320$$
$$-10a-10b-10c=-330$$
$$⇒-4b＋5c=-10・・・(5)$$

$$(4)×-4と(5)×-1より$$
$$c=10、b=15、a=8$$

答え・・・10（冊）

 

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【数的処理】等差数列【No.12】

初項が3、第7項が6の等差数列がある。この数列の初項から第21項までの和はいくつでしょうか。

 

【解答】

$$a_1=3$$
$$6=3＋(7-1)d$$
$$3=6d$$
$$よって公差d=0.5$$
$$\small S_{21}=3・21＋\frac{1}{2}・21(21-1)・0.5$$
$$=63＋105$$
答え・・・168

 

【練習問題1】

ある規則に従って整数が以下のように並んでいます。100番目の整数はいくつでしょうか。
2、5、8、11、14、17、・・・

 

【解答】

等差数列の一般項を求める公式は
$$a_n=a_1＋(n-1)d$$
$$なので、$$
$$a_1=2、d=3を入れると、$$
$$a_{100}=2＋(100-1)×3$$
$$a_{100}=2＋297$$
$$a_{100}=299$$
答え・・・299

 

【練習問題2】

等差数列1、6、11、16、・・・496がある。これら全ての和を求めなさい。

 

【解答】

$$a_1=1、d=5、最終項a_n=496$$
$$496=1＋(n-1)×5$$
$$n=100$$
$$したがって496は第100項なので、$$
$$S_{100}=1×100＋\frac{1}{2}100(100-1)×5$$
$$S_{100}=24850$$
答え・・・24850

 

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【数的処理】等比数列【No.13】

等比数列2、-4、8、-16・・・の第5項から第11項までの和はいくつでしょうか。

 

【解答】

$$第2項が-4という事から、$$
$$-4=2・r^{2-1}$$
$$よって公比r=-2$$
$$次に初項から第11項までの和は$$
$$S_{11}=\frac{2(-2^{11}-1)}{-2-1}$$
$$S_{11}=\frac{2(-2048-1)}{-3}$$
$$=1366$$
初項から第4項までの和を引いてやれば第5項から第11項までの和が求められるので
初項から第4項までの和は、
$$2-4＋8-16=-10$$
$$1366-(-10)=1376$$
答え・・・1376

この問題の場合、問題文により与えられた条件だけで公比が-2と解る。

第5項から第11項までを書き並べると
32、-64、128、-256、512、-1024、2048
これらを全て足すと
=1376
答え・・・1376

公式を使わず手作業で足していく方が早い場合はこの方法でも良い。

 

【練習問題1】

第3項が12、第4項が-24の等比数列の第5項から第9項までの和を求めなさい。

 

【解答】

問題文より
$$公比r=-2、a_1=3だとわかる。$$
よって初項から第4項までの和は、
$$S_4=\frac{3(-2^4-1)}{-2-1}$$
$$=\frac{3・15}{-3}$$
$$=-15$$
次に初項から第9項までの和は、
$$S_9=\frac{3(-2^9-1)}{-2-1}$$
$$=\frac{3×-513}{-3}$$
$$=513$$
$$S9-S4=513-(-15)$$
答え・・・528